Константин Коцев е роден на 4 юни 1926 г. в Цариград, Турция. През 1957 г. завършва ВИТИЗ "Кръстьо Сарафов". От 1958 г. до 1959 г. работи в Бургаския театър, от 1958 г. до 1984 г. в Държавния сатиричен театър "Алеко Константинов" и от 1984 г. до 1990 г. в театър "София". От 1990 г. е артист на свободна практика.
Сред най-ярките му сценични изпълнения са моноспектакълът "Дневникът на един луд" на Гогол, Жевакин от "Женитба", Крутицки от "И най-мъдрият си е малко прост" от Островски, "Тартюф" от едноименната комедия на Молиер. Играл е в пиеси на Йордан Радичков - "Януари" и "Суматоха" , както и в пиесата на Никола Русев "Старчето и стрелата", поставена от Методи Андонов.
Известен е с филмите "Бялата стая", "Инспекторът и нощта", "Привързаният балон", "Шведските крале", "Случаят Пенлеве", "Бягство в Ропотамо", "Топло", "Рапсодия в бяло" и др.
Член е на Съюза на българските филмови дейци. За него покойният режисьор Методи Андонов е написал в своите бележки: "Константин Коцев не беше обществена личност, но с това, което правеше в киното и театъра, е много по-обществена от тези, които се имат общественици".
